Question

设F₁、F₂分别是椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂作倾斜角为

π

3

的直线交椭圆D于A、B两点，F₁到直线AB的距离为3，△ABF₁的周长为8．
（1）求椭圆D的方程；
（2）已知点M（-1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若

CE

=2

EM

，求点C的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得AB的方程为：y=

3

(x-c)，由F₁到直线AB的距离为3，得c=

3

，由△ABF₁的周长为4a，得4a=8，由此能求出椭圆D的方程．
（2）设E（x₁，y₁），C（0，m），由

CE

=2

EM

，得x1=-

2

3

，y1=

m

3

，由E是椭圆D上的一点，得m=±2

2

，由此能求出点C的坐标．

解答： （本题满分13分）
解：（1）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0
由题意得AB的方程为：y=

3

(x-c)
∵F₁到直线AB的距离为3，
∴

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

…（2分）
∴a²-b²=c²=3…①
又△ABF₁的周长为4a，
∴4a=8，…②
联立①②解得：a=2，b=1
所求椭圆D的方程为

x2

4

+y2=1．…（6分）
（2）由（1）知椭圆D的方程为

x2

4

+y2=1
设E（x₁，y₁），C（0，m），由于

CE

=2

EM

，
∴（x₁，y₁-m）=2（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

2

3

，y1=

m

3

…（9分）
又E是椭圆D上的一点，则

(- 2 3 )2

4

+(

m

3

)2=1
∴m²=8，解得m=±2

2

于是点C的坐标为(0，2

2

)或(0，-2

2

)…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．