Question

14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，两条渐近线分别为l₁，l₂，过F₁作F₁A⊥l₁于点A，过F₂作F₂B⊥l₂于点B，O为原点，若△ABO是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{21}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{21}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 由F₁A⊥l₁，则丨F₁A丨=b，则丨OA丨=a，ABO是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，a=$\sqrt{3}$，求得A点坐标，代入渐近线方程，即可求得b的值，求得双曲线方程．

解答 解：过A作AD⊥F₁F₂，双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
由F₁A⊥l₁，则丨F₁A丨=b，则丨OA丨=a，
由ABO是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，丨OA丨=a=$\sqrt{3}$，
∴丨AD丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
由D在渐近线y=$\frac{b}{a}$x，解得：b=3，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，考查数形结合思想，属于中档题．