Question

10．已知函数$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]$上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求函数的最小正周期，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x间∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$，
∴函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$-π+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ$，
得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，
故函数f（x）的递调递增区间为$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]$（k∈Z）；
（2）∵$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$在区间$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}]$上为增函数，
在区间$[\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]$上为减函数，
又$f（-\frac{π}{8}）=0$，$f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}$，$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{2}cos（π-\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=-1$，
故函数f（x）在区间$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]$上的最大值为$\sqrt{2}$，此时$x=\frac{π}{8}$；最小值为-1，此时$x=\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．