Question

已知函数f(x)=

3

sin

3

2

x+cos

3

2

x+a恒过点(-

π

3

，1)．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）把点的坐标代入函数表达式，即可求a的值；
（2）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式求解函数y=f（x）的最小正周期，结合正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间．

解答：解：（1）依题意得

3

sin[

3

2

×(-

π

3

)]+cos[

3

2

×(-

π

3

)]+a=1（3分）
解得a=1+

3

（5分）
（2）由f(x)=

3

sin

3

2

x+cos

3

2

x+a=2sin(

3

2

x+

π

6

)+1+

3

（7分）
∴函数y=f（x）的最小正周期T=

2π

3 2

=

4π

3

（8分）
由2kπ+

π

2

≤

3

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得

4kπ

3

+

2π

9

≤x≤

4kπ

3

+

8π

9

（k∈Z）（12分）
∴函数y=f（x）的单调递减区间为[

4kπ

3

+

2π

9

，

4kπ

3

+

8π

9

](k∈Z)（13分）

点评：本题是中档题，考查特殊角的三角函数值，三角函数的化简，周期的求法，单调减区间的求法，考查计算能力，注意基本函数的基本性质的灵活运应，是解好数学题目的关键，常考题型．