Question

8．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的$\frac{1}{4}$，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．

解答 解：设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，椭圆中心到l的距离为其短轴长的$\frac{1}{4}$，
可得：$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}=\frac{b}{2}$，
4=b²（$\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$），
∴$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=3$，
$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{c}^{2}}$=3，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．