Question

14．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱，已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为54．

Answer 1

分析 先表示出正六棱柱的体积，再利用导数的方法，即可求出正六棱柱的体积的最大值．

解答 解：设棱柱高为2x（0＜x＜3），则底面积$S=6×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\sqrt{9-{x^2}}）^2}$，
则$V=Sh=6×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\sqrt{9-{x^2}}）^2}•2x=3\sqrt{3}（9-{x^2}）x=-3\sqrt{3}{x^3}+27\sqrt{3}x$
令$V'=-9\sqrt{3}{x^2}+27\sqrt{3}=0解得x=±\sqrt{3}$．
则${V_{max}}=V（\sqrt{3}）=-3\sqrt{3}•3\sqrt{3}+27\sqrt{3}•3\sqrt{3}=54$．
故答案为：54．

点评 本题考查正六棱柱的体积的最大值，考查导数知识的运用，正确表示正六棱柱的体积，再利用导数的方法求最大值是关键．