Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的点到焦点的距离最大值和最小值分别为3+2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$．
（1）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于不同的两点A，B，若C（-3，0），D（3，0），直线CA与直线BD的交点是K，求点K的轨迹方程；
（2）过点Q（1，0）作直线（与x轴不垂直）与该椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若$\overrightarrow{RM}$=$λ\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=$μ\overrightarrow{NQ}$，试判断：λ+μ是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆上的点到焦点的距离最大值和最小值可知a=3、c=2$\sqrt{2}$，从而b²=a²-c²=1、椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，通过设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有$\frac{t^2}{9}+{y_0}^2=1$，联立直线CA、DB的方程并代入$\frac{t^2}{9}+{y_0}^2=1$整理即得结论；
（2）通过设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅），设直线MN方程为y=k（x-1），并与椭圆方程联立消去y、利用韦达定理可知x₃+x₄=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$、x₃x₄=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$，通过$\overrightarrow{RM}$=$λ\overrightarrow{MQ}$、$\overrightarrow{RN}$=$μ\overrightarrow{NQ}$，利用向量知识计算可知λ=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$、μ=$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$，整理计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的点到焦点的距离最大值和最小值分别为3+2$\sqrt{2}$、3-2$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=3+2\sqrt{2}}\\{a-c=3-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=3，c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，
依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有$\frac{t^2}{9}+{y_0}^2=1$，
∴$CA：y=\frac{y_0}{t+3}（x+3），DB：y=\frac{{-{y_0}}}{t-3}（x-3）$，
∴${y^2}=\frac{-y_0^2}{{{t^2}-9}}（{x^2}-9）$，
将$\frac{t^2}{9}+{y_0}^2=1$代入上式得y²=$\frac{1}{9}$（x²-9），
整理得交点K的轨迹方程：$\frac{1}{9}$x²-y²=1（y≠0）；
（2）结论：λ+μ为定值-$\frac{9}{4}$．
理由如下：
依题意，直线的斜率存在，设其方程为：y=k（x-1），
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅），
则M、N两点坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y并整理得：（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
由韦达定理可知：x₃+x₄=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{RM}$=$λ\overrightarrow{MQ}$，
∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=λ（1-{x}_{3}）}\\{{y}_{3}-{y}_{5}=-λ{y}_{3}}\end{array}\right.$，则x₃=λ（1-x₃），
又∵直线MN与x轴不垂直，
∴x₃≠1，∴λ=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$，
同理可知：μ=$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$，
∴λ+μ=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$+$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$
=$\frac{（{x}_{3}+{x}_{4}）-2{x}_{3}{x}_{4}}{1-（{x}_{3}+{x}_{4}）+{x}_{3}{x}_{4}}$
=$\frac{\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}-2•\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}}{1-\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}+\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}}$
=-$\frac{9}{4}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及斜率、韦达定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．