Question

7．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3BC．
（I）求证：AB⊥PD；
（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）欲证明AB⊥PD，只需推知AB与平面PD内的两条相交线垂直即可；
（II）在PA上存在三等分点E，使得AE=2EP，此时BE∥平面PCD．根据题意构建平行四边形BEFC，利用平行四边形的性质和直线与平面平行的判定定理进行证明即可．

解答 （I）证明：因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PA，
因为底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，
所以AB⊥AD．
又PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，
又因为PD?平面PAD，所以AB⊥PD；
（II）解：在PA上存在三等分点E，使得AE=2EP，此时BE∥平面PCD．
证明如下：取PD上点F，使得DF=2FP，
连结BE，EF，FC，
则EF∥AD，且$EF=\frac{1}{3}AD$．
又AD=3BC，AD∥BC，
所以BC∥EF，且BC=EF，
因为四边形BEFC为平行四边形，
所以BE∥CF，
因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．