题目内容
8．已知a+b（a＞0，b＞0）是函数f（x）=-x+30-3a的零点，则使得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$取得最小值的有序实数对（a，b）是 （ ）| A． | （10，5） | B． | （7，2） | C． | （6，6） | D． | （5，10） |
分析 a+b（a＞0，b＞0）是函数f（x）=-x+30-3a的零点，可得：-（a+b）+30-3a=0，化为：4a+b=30．则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}（4a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{30}$$（5+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：∵a+b（a＞0，b＞0）是函数f（x）=-x+30-3a的零点，∴-（a+b）+30-3a=0，化为：4a+b=30．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}（4a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{30}$$（5+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}）$≥$\frac{1}{30}（5+2\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{b}{a}}）$=$\frac{1}{30}（5+4）$=$\frac{3}{10}$，当且仅当b=2a=10时取等号．
取得最小值的有序实数对（a，b）是（5，10）．
故选：D．
点评 本题考查了函数的零点、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）
3．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-6x+6，x≥0\\ 3x+4，x＜0\end{array}\right.$，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
| A． | $（{\frac{11}{6}，6}]$ | B． | $（{\frac{11}{3}，6}）$ | C． | $（{\frac{20}{3}，\frac{26}{3}}）$ | D． | $（{\frac{20}{3}，\frac{26}{3}}]$ |
13．点P（x，y）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤120°，则该椭圆的离心率是（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
20．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（ ）
| A． | i＞6 | B． | i＞7 | C． | i＞8 | D． | i＞9 |
17．一张银行储蓄卡的密码由6为数字组成，某人在自动取款机中取款时，忘记了最后一位密码，只记得最后一位是偶数，则他不超过两次就按对密码的概率是（ ）
| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{2}{5}$ | C． | $\frac{1}{10}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |