Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{16}x+\frac{1}{4}{a}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a+3）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若对任意非零实数x₁，存在唯一实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的值为2或6．

Answer 1

分析 由题意结合函数图象可将问题转化为关于a的方程（3-a）²=$\frac{1}{4}$a²，解得即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{16}x+\frac{1}{4}{a}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a+3）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴当x=0时，f（x）=$\frac{1}{4}$a²，
∵对任意的非零实数x₁，存在唯一的实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立．
∴函数必须为连续函数，
∴（3-a）²=$\frac{1}{4}$a²，
解得a=2或a=6，
故答案为：2或6．

点评 本题主要考查分段函数的应用，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，注意利用数形结合进行求解，属中档题．