Question

8．如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分别为A₁D₁和AA₁的中点，则下列说法中正确的个数为（　　）
①C₁M∥AC；
②BD₁⊥AC；
③BC₁与AC的所成角为60°；
④B₁A₁、C₁M、BN三条直线交于一点．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据平行的定义，可判断①；先证明AC⊥平面BDD₁，可判断②；根据△A₁BC₁为等边三角形，可判断③；根据公理3判断出三线共点，可判断④

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分别为A₁D₁和AA₁的中点，
∴A₁C₁∥AC，C₁M与A₁C₁相交，故①错误；
BD⊥AC，DD₁⊥AC，故AC⊥平面BDD₁，故BD₁⊥AC，故②正确；、
连接BA₁，则△A₁BC₁为等边三角形，即BC₁与A₁C₁的所成角为60°；
由①中A₁C₁∥AC，可得BC₁与AC的所成角为60°，故③正确；
④由MN∥AD₁∥BC₁，可得C₁M、BN共面，
则C₁M、BN必交于一点，
且该交点，必在B₁A₁上，
故B₁A₁、C₁M、BN三条直线交于一点，故④正确；
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系等知识点，难度中档．