Question

17．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，点D在线段BC上．
（1）若BD=2DC，△ACD$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$的面积为，求边AC的长；
（2）若∠ADC=$\frac{2π}{3}$，求三角形ABD的面积S_△ABD．

Answer 1

分析 （1）由DB=2DC得s_△ABC=3s_△ADC，s${\;}_{△ABC}=4\sqrt{2}$ 即s${\;}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC$，BC=6，在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC即可；
（2）在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，得AD=$\frac{8\sqrt{6}}{9}$，sin$∠BAD=sin（\frac{2π}{3}-B）=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$即可求解．

解答 解：（1）∵DB=2DC，∴s_△ABD=2s_△ADC，s_△ABC=3s_△ADC，
又s${\;}_{△ADC}=\frac{4}{3}\sqrt{2}$，∴s${\;}_{△ABC}=4\sqrt{2}$，…（3分）
∵s${\;}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC$，∴BC=6，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC．
∴AC=4$\sqrt{2}$．…（5分）
（2）在三角形中，∵cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．…（6分）
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，
又AB=2，$∠ADB=\frac{π}{3}$，sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．∴AD=$\frac{8\sqrt{6}}{9}$…（9分）
$∠BAD=\frac{2π}{3}-B$，sin$∠BAD=sin（\frac{2π}{3}-B）=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$
∴${s}_{△ADB}=\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=$\frac{16\sqrt{3}+12\sqrt{2}}{27}$…（12分）

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．