Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{|x-5|-1，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]∪{3}
• B． [3，5]∪{$\frac{1}{7}$}
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）∪{5}
• D． [3，7）∪{$\frac{1}{5}$}

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{|x-5|-1，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则函数y=log_ax，与y=|x-5|-1上有且只有一个交点，解得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{|x-5|-1，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，
∴函数y=log_ax，与y=|x-5|-1上有且只有一个交点，
当对数函数的图象过（5，-1）点时，a=$\frac{1}{5}$，
当对数函数的图象过（3，1）点时，a=3，
当对数函数的图象过（7，1）点时，a=7，
故a[3，7）∪{$\frac{1}{5}$}，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，注意运用转化思想，转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合思想，难度中档．