Question

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,
（1）若双曲线经过P（，2），求双曲线方程；
（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；
（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.

Answer 1

（1）（2）=1或（3）=1或

方法一 （1）由双曲线的渐近线方程y=±x及点P（，2）的位置可判断出其焦点在y轴上，（a＞0,b＞0）
故可设双曲线方程为.
依题意可得
故所求双曲线方程为.
(2)若焦点在x轴上，可设双曲线方程为.
依题意
此时所求双曲线方程为=1.
若焦点在y轴上，可设双曲线方程为.
依题意
此时所求双曲线方程为.
故所求双曲线方程为=1或.
（3）若焦点在x轴上，则a=3,且=.
∴a=3,b=2,双曲线方程为=1.
若焦点在y轴上，则a=3,且=.
∴a=3,b=,双曲线方程为.
故所求双曲线方程为=1或.
方法二 由双曲线的渐近线方程=0,
可设双曲线方程为(≠0).
(1)∵双曲线经过点P（，2），
∴=,即=-,
故所求双曲线方程为=1.
(2)若＞0，则a²=9,b²=4,c²=a²+b²=13.
由题设2c=2,则13=13,即=1.
此时，所求双曲线方程为=1.
若＜0，则a²=-4,b²=-9,c²=a²+b²=-13.
由题设2c=2,得=-1.
此时，所求双曲线方程为=-1.
故所求双曲线方程为=1或=1.
（3）若＞0，则a²=9,由题设知2a=6.
∴=1，此时所求双曲线方程为=1.
若＜0，则a²=-4,由题设知2a=6,知=-.
此时所求双曲线方程为.
故所求双曲线方程为=1或.