Question

已知f（x）=-x²+2ax，g（x）=-2x+a+1，若在x∈[0，2]上f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先把函数变成顶点式，利用恒成立问题f（x）_max≤g（x）_min对函数的对称轴进行分类讨论，进一步确定结果．

解答： 解：已知f（x）=-x²+2ax，g（x）=-2x+a+1，
若在x∈[0，2]上f（x）≤g（x）恒成立，只需满足f（x）_max≤g（x）_min即可
由于g（x）=-2x+a+1在x∈[0，2]上是单调减函数
g（x）_min=g（2）=a-3
f（x）=-x²+2ax=-（x-a）²+a²，对称轴为x=a
①当0≤a≤2时，f(x)max=a2结合f（x）_max≤g（x）_min 即a²≤a-3无解
②当a＞2时，f（x）_max=f（2）=-4+4a结合f（x）_max≤g（x）_min即-4+4a≤a-3解得：a≤

1

3

与a＞2矛盾故舍去．
③当a＜0时，f（x）_max=f（0）=0结合f（x）_max≤g（x）_min解得：0≤a-3即a≥3与a＜0矛盾故舍去．
本题无解

点评：本题考查的知识要点：二次函数一般式与顶点式的互化，对称轴和定区间的关系，及恒成立问题的应用