Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，，，D，E分别为棱BC，PC的中点，点F在棱PA上，设．

（1）当时，求异面直线DF与BE所成角的余弦值；

（2）试确定t的值，使二面角C-EF-D的平面角的余弦值为．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，写出的坐标，利用向量夹角公式求异面直线的角即可；

（2）设，，利用向量求出二面角的余弦，得出或，即可知的值.

在三棱锥中，底面ABC，，

则，，

故以基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，

所以，，，．

因为D，E分别为棱BC，PC的中点，

所以，．

（1）当时，．

所以．

设异面直线DF与BE所成的角为，

则，

所以异面直线DF与BE所成角的余弦值为．

（2）设，，

则，．

因为，，，

平面APC，所以平面APC，

故平面CEF的一个法向量为．

设平面DEF的一个法向量为，

则，即．

不妨取，则，，

所以平面DEF的一个法向量为．

因为二面角的平面角的余弦值为，

所以

解得或，

则或．

因此，当或时，

二面角的平面角的余弦值为．