题目内容
【题目】动点
在椭圆
上，过点作
轴的垂线，垂足为
，点
满足
，已知点的轨迹是过点
的圆．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点（，在轴的同侧），
，
为椭圆的左、右焦点，若
，求四边形
面积的最大值．
【答案】（1）
；（2）3．
【解析】
（1）设点
，
，得到
，点
的轨迹是过
的圆，故
，得到椭圆方程.
（2）如图，延长
交
于点
，由对称性可知：
，设
，
，直线的方程为
，联立方程得到
，
，计算
，利用均值不等式得到答案.
（1）设点，，则点
，
，
，
，
，
，
点在椭圆上，
，即为点的轨迹方程．
又点的轨迹是过的圆，
，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，
由（1）可知
，
，
设，，直线的方程为，
由
可得
，
，
，，
，
设
与
的距离为
，则四边形
面积
，
而
，
，
当且仅当
，即
时，取等号．
故四边形面积的最大值为3．
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