Question

【题目】设以的边为长轴且过点的椭圆的方程为椭圆的离心率，面积的最大值为，和所在的直线分别与直线相交于点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设与的外接圆的面积分别为，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）运用椭圆的离心率公式、三角形面积公式和的关系，可得，进而得到椭圆方程；

（2）设，将直线、直线分别与直线，求出、的坐标，可得；设，，分别为和外接圆的半径，利用正弦定理可得， ，可求的，再利用二次函数的性质，即可求出结果.

（1）依题意：

所以.

椭圆的方程为.

（2）设，则，，.

直线与直线联立得.

直线与直线联立得.

.

设，，分别为和外接圆的半径，在中，所以.

在中，所以，

.

又，所以.

令，而，所以.

.

所以，即时，取得最小值，最小值为.