Question

【题目】已知数列的前n项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．

（1）若数列的通项为，则是否属于？

（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；

（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）数列中是不存在无穷多项依次成等差数列，理由详见解析．

【解析】

（1）由题意可得，证明即后即可得解；

（2）由题意可得，当时，；结合二次函数的性质可得；即可得；进而可得，即可得解；

（3）转化条件得即，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），则存在，，使得，设，，，作差后可得即当时，，进而可得不等式有无穷多个解，显然不成立，即可得解.

（1）因为，所以，

所以，

所以，即；

（2）设的公差为，因为，

所以（*）

特别的当时，，即，

由（*）得，

整理得，

因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，

又，所以，

于是，即，

所以即；

（3）由得，所以，即，

所以，从而有，

又，所以，即，

又，，所以有，

所以，

假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，

不妨设该等差数列的第项为（为常数），

则存在，，使得，即，

设，，，

则，

即，

于是当时，，

从而有：当时，即，

于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，

因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．