Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知底面是边长为2的菱形，平面，，，分别是棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）可先证线线平行，然后根据线面平行的判定定理证明线面平行，也可先根据线线平行证明面面平行，再根据面面平行证明线面平行；

（2）可利用传统法，先找到线在直角三角形求线面角的正弦值，也可根据题中的线面位置关系建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解．

（1）如图所示，取的中点，连接，，

因为是棱的中点，所以是的中位线，所以，

又因为平面，平面，所以平面，

又由是棱的中点，为的中点，可得，

又因为平面，平面，所以平面，

又由，且平面，所以平面平面，

又因为平面，所以平面．

（2）取的中点，连接，由是等边三角形，所以，

又，所以，

因为平面，平面，所以，，

所以，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

故，，．

设平面的法向量为，则，即，

令，则，故为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．