Question

如图所示茎叶图记录了甲，乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩（满分为100分）．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（Ⅰ）若甲，乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值．
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．
（Ⅲ）当a=2时，分别从甲，乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值为2分的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,茎叶图,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的结果可得，当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；
（Ⅲ）用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的情况数，然后由古典概率模型概率计算公式求概率

解答： 解：（1）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得

1

3

（88+92+92）=

1

3

[90+91+（90-a）]，解得a=1；
（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=

8

10

=

4

5

，
（3）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴事件B的结果有3种，它们是：（88，90），（92，90），（92，90），
所以这两名同学的数学成绩之差的绝对值为的概率P=

3

9

=

1

3

．

点评：本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题．