Question

4．已知数列{a_n}的各项均为正数，且前n项之和S_n满足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂、a₄、a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列b_n=2ⁿa_n的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）6S_n=a_n²+3a_n+2，可得n=1时，6a₁=${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$+2，解得a₁=1或2．n≥2时，6a_n=6（S_n-S_n-1），化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，由题意可得：数列{a_n}的各项均为正数，可得a_n-a_n-1=3，当a₁=1时，可得a_n=3n-2．当a₁=2时，a_n=3n-1．分别验证是否满足：${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉．即可得出：a_n．
（Ⅱ）数列b_n=2ⁿa_n=（3n-2）2ⁿ．再利用错位相减法即可得出．

解答 解：（I）∵6S_n=a_n²+3a_n+2，∴n=1时，6a₁=${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$+2，解得a₁=1或2．
n≥2时，6a_n=6（S_n-S_n-1）=a_n²+3a_n+2-$（{a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2）$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
由题意可得：数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=3，
当a₁=1时，a_n=1+3（n-1）=3n-2．满足：${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉．
当a₁=2时，a_n=2+3（n-1）=3n-1．不满足：${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉．
综上可得：a_n=3n-2．
（Ⅱ）数列b_n=2ⁿa_n=（3n-2）2ⁿ．
∴数列b_n=2ⁿa_n的前n项和T_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
∴2T_n=2²+4×2³+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹=2+3×$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=10+（3n-5）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．