Question

12．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+（a-1）lnx$，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（1）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，令h′（x）＞0求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0即可求得函数的单调递减区间，即可求出函数极值，
（2）构造函数，利用导数和函数单调性的关系，以及二次函数的性质即可求出a的范围

解答 解：（1）当a=3时，$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2lnx-3x$，x＞0，
∴${h^'}（x）=x+\frac{2}{x}-3=\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
当h′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，函数单调递增，
当h′（x）＜0时，解得1＜x＜2，函数单调递减，
∴函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）
函数h（x）在x=1处取得极大值$-\frac{5}{2}$，在x=2处取得极小值2ln2-4．
（2）由题意，$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（a-1）lnx-ax（a＞1）$
不妨设x₁＜x₂，则由$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂
令$F（x）=h（x）+x=\frac{1}{2}{x^2}+（a-1）lnx-ax+x$，
则函数F（x）在（0，+∞）单调递增，
${F^'}（x）=x-（a-1）+\frac{a-1}{x}=\frac{{{x^2}-（a-1）x+a-1}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0在（0，+∞）恒成立，
∵G（0）=a-1＞0，$\frac{a-1}{2}＞0$，
因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0，解得1＜a≤5
故所求实数a的取值范围为1＜a≤5．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查构造法求函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．