题目内容
7．在直角坐标系xOy中，直线点参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$为参数$α∈（0，\frac{π}{2}）$）以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且一个公共点M，求点M的直角坐标；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，线段AB的中点横坐标为$\frac{1}{2}$，求直线l的普通方程．
分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2+6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6cosα．利用中点坐标公式即可得出．
解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2-4x+y2=0，即（x-2）2+y2=4．
把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1-tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$为参数$α∈（0，\frac{π}{2}）$）代入上式并整理得t2+6tcosα+5=0．
令△=（6cosα）2-20=0，解得cosα=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinα=$\frac{2}{3}$，t=-$\sqrt{5}$．
∴点M的直角坐标为（$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6cosα．
线段AB的中点对应的参数为$\frac{1}{2}$（t1+t2）=-3cosα．
则-1+3cos2α=$\frac{1}{2}$，解得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，α=$\frac{π}{4}$．
∴直线l的普通方程为x-y+1=0．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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