Question

已知函数f（x）=-

2

x+1

，x∈[-3，-2]．
（1）求证：f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的值域,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）按照取值，作差，化简，判号，下结论5步完成；（2）由单调性直接求出最值．

解答： 解：（1）证明：任取x₁、x₂∈[-3，-2]．且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=-

2

x1+1

+

2

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-3≤x₁＜x₂≤-2，
∴x₁+1＜0，x₂+1＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在[-3，-2]上是增函数．
（2）由（1）知，
f_max（x）=f（-2）=2，
f_min（x）=f（-3）=1．

点评：本题考查了单调性的证明与最值的求解，属于基础题．