Question

如图，在正方形ABCD=A₁B₁C₁D₁中，AB=2，O为底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心，E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，点M为EF上一点，且满足

EM

=

2

3

EF

，P为正方体底面ABCD上的点．
（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BB₁DD₁．
（Ⅱ）若OP与DM相交，试判断OM与DP的位置关系；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求平面CDP与平面DPO所成锐二面角的大小为θ，求cosθ

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直证明面面垂直，EF⊥面BB₁D₁D，面DEF⊥面BB₁D₁；（Ⅱ）先证OM与DP共面，在利用正方体的几何性质证明DP∥OM；（Ⅲ）建立空间坐标系，用向量法解决．

解答： 本题满分（13分）．
（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁C₁⊥B₁D₁，BB₁⊥A₁C₁…（1分）
∵E，F分别为A₁B₁，B₁C₁的中点，∴EF∥A₁C₁…（2分）∴EF⊥B₁D₁，EF⊥BB₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，∴EF⊥面BB₁D₁D
又EF?面DEF…（3分）∴面DEF⊥面BB₁D₁D…（4分）
（Ⅱ）∵OP与DM相交，
∴OP与DM确定一个平面α，P为正方体底面ABCD上的点…（5分）
∴平面α∩面ABCD=DP，平面α∩面A₁B₁C₁D₁=OM…（6分）
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁∴DP∥OM…（7分）
（Ⅲ）如图以D₁为原点，D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A₁（2，0，0），B₁（2，2，0），C₁（0，2，0），O（1，1，0），D（0，0，2），E（2，1，0），F（1，2，0）…（8分）
设M（m，n，0），
由

EM

=

2

3

EF

，得（m-2，n-1，0）=

2

3

(-1，1，0)
解得m=

4

3

，n=

5

3

，即M(

4

3

，

5

3

，0)…（10分）
由（Ⅱ）可知：面CPD与面ABCD共面，
面DOP与面DOM共面，
面ABCD的一个法向量为

n1

=(0， 0， 1)
设面DOM的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，∵

OD

=(-1，  -1，  2)，

OM

=(

1

3

，  

2

3

，  0)
∴由

n2 • OD =0 n2 • OM =0

，可得

-x-y+2z=0 1 3 x+ 2 3 y=0

令z=1，则x=4，y=-2，即

n2

=(4，  -2，  1)…（12分）
cos?

n1

， 

n2

＞=

1

1× 21

=

21

21

，故cosθ=

21

21

…（13分）

点评：本题考查面面垂直，空间直线的位置关系，二面角的平面角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．