Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，确定满足g（x）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，
∴函数f（x）的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函数f（x）的图象沿x轴向右平移$\frac{π}{6}$个单位，
得g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≥1，x∈[0，π]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≥\frac{1}{2}$，
由2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，解得：x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴事件“g（x）≥1”发生的概率为$\frac{\frac{π}{2}-\frac{π}{6}}{π}$=$\frac{\frac{π}{3}}{π}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了几何概型的概率的计算，考查了三角函数的图象和性质，本题考查几何概型，三角函数的化简，学生的计算能力，属于中档题．