Question

4．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），则a_n=（　　）

• A． 2-（$\frac{1}{2}$）^n-1
• B． （$\frac{1}{2}$）^n-1-2
• C． 2-2^n-1
• D． 2ⁿ-1

Answer 1

分析 a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），变形为a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），∴a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），又a₁-2=-1．
∴数列{a_n-2}是等比数列，首项为-1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-2=-1×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，即a_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
故选：A．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．