Question

14．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则$\frac{y+1}{x}$的取值范围是[1，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，$\frac{y+1}{x}$的几何意义是区域内的点到定点D（0，-1）的斜率，
由图象知，AD的斜率最大，
BD的斜率最小，此时最小值为1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（1，$\frac{3}{2}$），
此时AD的斜率k=$\frac{\frac{3}{2}+1}{1}$=$\frac{5}{2}$，
即1≤$\frac{y+1}{x}$≤$\frac{5}{2}$，
故$\frac{y+1}{x}$的取值范围是[1，$\frac{5}{2}$]
故答案为：[1，$\frac{5}{2}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．