Question

2．等差数列{a_n}中，a₁=1，a₇=-23，若数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为-$\frac{14}{55}$，则n=（　　）

• A． 14
• B． 15
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，利用通项公式可得a_n=5-4n．可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{4n-5}-\frac{1}{4n-1}）$，即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，a₇=-23，
∴-23=1+6d，解得d=-4．
∴a_n=1-4（n-1）=5-4n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（5-4n）（1-4n）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{4n-5}-\frac{1}{4n-1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和=$\frac{1}{4}[（-1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{4n-5}-\frac{1}{4n-1}）]$
=$\frac{1}{4}（-1-\frac{1}{4n-1}）$，
令$\frac{1}{4}（-1-\frac{1}{4n-1}）$=-$\frac{14}{55}$，
则n=14．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．