Question

13．已知点F₁、F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N两点，若△M NF₂为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $-1+\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 把x=-c代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．由于△MNF₂为等腰直角三角形，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，由离心率公式化简整理即可得出．

解答 解：把x=-c代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵△MNF₂为等腰直角三角形，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，即a²-c²=2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，化为e²+2e-1=0，0＜e＜1．
解得e=-1+$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质：离心率、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．