Question

14．在平面直角坐标系xOy中，将曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C₁，以射线Ox为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=4sinθ．
（1）分别写出曲线C₁，C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂的公共弦的长度．

Answer 1

分析 （1）先求出变换后的C₁的参数方程，再求出对应的普通方程，再把C₂的极坐标方程化为普通方程即可，
（2）C₁和C₂公共弦所在直线为2x-4y+3=0，利用点到直线的距离公式及弦长公式求出公共弦长．

解答 解：（1）曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）上的每一点纵坐标不变，
横坐标变为原来的一半得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，然后整个图象向右平移1个单位得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，所以，C₁为； （x-1）²+y²=4，
又C₂为ρ=4sinθ，即x²+y²=4y，
（2）C₁和C₂公共弦所在直线为2x-4y+3=0，
所以，（1，0）到2x-4y+3=0距离为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以，公共弦长为2$\sqrt{4-\frac{5}{4}}$=$\sqrt{11}$．

点评 本题考查函数图象的变换，以及把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．