Question

已知f(x)=1+sin

π

2

x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=

 

．

Answer 1

分析：分别把x=1，2，3，…，2009代入f（x）求出各项，除过2009个1外，根据诱导公式和特殊角的三角函数值可得：从sin

π

2

开始每连续的四个正弦值相加为0，因为2009除以4余数是1，所以把最后一项的sin（

2009π

2

）利用诱导公式求出值即可得到原式的值．

解答：解：由f(x)=1+sin

π

2

x，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）
=1+sin

π

2

+1+sinπ+1+sin

3π

2

+1+sin2π+1+sin

5π

2

+…+1+sin

2009π

2

=2009+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+（sin

5π

2

+sin3π+sin

7π

2

+sin4π）+…+（sin

2005π

2

+sin1003π+sin

2007π

2

+sin1004π）
+sin

2009π

2

=2009+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+…+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+sin

2009π

2

=2009+0+0+…+0+sin（2×502π+

π

2

）
=2009+1
=2010
故答案为：2010

点评：此题是一道基础题，要求学生灵活运用诱导公式化简求值，牢记特殊角的三角函数值．做题时要找出每四项的正弦值为0这个规律．