题目内容
已知向量
=(coswx,sinwx),
=(coswx,
coswx),其中0<w<2,函数f(x)=
-
,直线x=
为其图象的一条对称轴.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式及其单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(
)=1,b=2,S△ABC=2
,求a值.
m |
n |
3 |
m |
n |
1 |
2 |
π |
6 |
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式及其单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(
A |
2 |
3 |
分析:(I)根据向量数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式,化简得
,利用正弦曲线的对称轴公式解出w=1,得到f(x)的表达式.再根据三角函数单调区间的公式,即可得到函数的单调递减区间;
(II)由(I)求出的表达式,代入f(
)=1解出A=
,根据S△ABC=2
利用三角形的面积公式算出c=4,最后利用余弦定理即可解出边a的值.
|
(II)由(I)求出的表达式,代入f(
A |
2 |
π |
3 |
3 |
解答:解:(I)根据题意,可得
∵
=(coswx,sinwx),
=(coswx,
coswx),
∴
=
当x=
时,sin(
+
)=±1,即
+
=kπ+
(k∈Z),
∵0<w<2,∴w=1,可得f(x)=sin(2x+
),
令kπ-
≤2π+
≤kπ+
,可得2kπ-
≤2x≤2kπ+
,
解之得kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-
,kπ+
](k∈Z).
(II)由(I)可得f(A)=sin(A+
)=1
∵在△ABC中,A∈(0,π),∴A+
=
,解之得A=
.
∵s△ABC=
bcsinA=2
,b=2,
∴
×2×c×sin
=2
,解之得c=4
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得a2=22+42-2×4×2×cos60°=12,∴a=2
(舍负).
∵
m |
n |
3 |
∴
|
=
|
当x=
π |
6 |
wπ |
3 |
π |
6 |
wπ |
3 |
π |
6 |
π |
2 |
∵0<w<2,∴w=1,可得f(x)=sin(2x+
π |
6 |
令kπ-
π |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
2π |
3 |
π |
3 |
解之得kπ-
π |
3 |
π |
6 |
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-
π |
3 |
π |
6 |
(II)由(I)可得f(A)=sin(A+
π |
6 |
∵在△ABC中,A∈(0,π),∴A+
π |
6 |
π |
2 |
π |
3 |
∵s△ABC=
1 |
2 |
3 |
∴
1 |
2 |
π |
3 |
3 |
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得a2=22+42-2×4×2×cos60°=12,∴a=2
3 |
点评:本题着重考查了向量的数量积公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、三角形的面积公式和余弦定理等知识,属于中档题.
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