题目内容
（2013•盐城一模）已知f(x)=(2+
)n，其中n∈N*．
（1）若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成
+
（s∈N*）的形式．
| x |
（1）若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成
| s |
| s-1 |
分析：（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3的项，再根据展开式中含x3项的系数为14，求n的值．
（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若 (2+
)n=
+
，a、b∈N*，则(2-
)n=
-
．再由 （
+
）（
-
）=1，令 a=s，s∈N*，则必有 b=s-1，从而证得结论．
（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若 (2+
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（1）由二项式定理可知，二项展开式的通项公式为 Tr+1=
•2n-r•x
，
令
=3，解得r=6，展开式中含x3项的系数为
•2n-6=14，解得 n=7．
（2）当x=3时，f（x）=(2+
)n=
•2n•(
)0+
• 2n-1 •(
) 1+
• 2n-2 •(
) 2
+…+
• 2n-n •(
) n．
设(2+
)n=x+
y=
+
，由于 (2+
)n=
+
，a、b∈N*，
则(2-
)n=
-
． …（7分）
∵（
+
）（
-
）=(2+
)n•(2-
)n=1，
∴令 a=s，s∈N*，则必有 b=s-1，…（9分）
∴(2+
)n必可表示成
+
的形式，其中 s∈N*． …（10分）
| C | r n |
| r |
| 2 |
令
| r |
| 2 |
| C | 6 n |
（2）当x=3时，f（x）=(2+
| 3 |
| C | 0 n |
| 3 |
| C | 1 n |
| 3 |
| C | 2 n |
| 3 |
+…+
| C | n n |
| 3 |
设(2+
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| 3y2 |
| 3 |
| a |
| b |
则(2-
| 3 |
| a |
| b |
∵（
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
∴令 a=s，s∈N*，则必有 b=s-1，…（9分）
∴(2+
| 3 |
| s |
| s-1 |
点评：本题二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，属于中档题．
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