题目内容

已知f(x)=cosx(
3
sinx+cosx)
（1）当x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x；
（2）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=
6
-
2
，f（A）=
1
2
，试求△ABC的面积S．
分析：（1）利用两角和的正弦公式、余弦公式化简函数 f（x）的解析式为 sin（2x+
π
6
）+
1
2
，再由x∈[0，
π
2
]，利用正弦函数的定义域和值域求得当x=
π
6
时，
函数f（x）取得最大值
3
2
．
（2）由f（A）=
1
2
，求得A=
5π
12
，利用两角和的正弦公式求得sinA=sin（
π
4
+
π
6
）的值，可得△ABC的面积S=
1
2
bc•sinA 的值．
解答：解：（1）∵f（x）=cosx（
3
sinx+cosx）=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
=sin（2x+
π
6
）+
1
2
，x∈[0，
π
2
]，可得（2x+
π
6
）∈[
π
6
，
7π
6
]，
sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]，故f（x）的值域为[0，
3
2
]，当x=
π
6
时，函数f（x）取得最大值
3
2
．…（6分）
（2）由f（A）=
1
2
=sin（2A+
π
6
）+
1
2
，可得sin（2A+
π
6
）=0，A=
5π
12
，故 sinA=sin（
π
4
+
π
6
）=sin
π
4
cos
π
6
+cos
π
4
sin
π
6
=
6
+
2
4
．
可得△ABC的面积S=
1
2
bc•sinA=
1
2
×(
6
-
2
)×
6
+
2
4
=
1
2
．…（6分）
点评：本题主要考查两角和的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=cos(ωx+
π
3
)，(ω＞0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（　　）
A、向左平移
5
12
π个单位
B、向右平移
5
12
π个单位
C、向左平移
11
12
π个单位
D、向右平移
11
12
π个单位
已知f(x)=
cos(πx)           x≤0 
f(x-1)+1     x＞0
，则f(
4
3
)+f(-
4
3
)的值为（　　）
A、-2B、-1C、1D、2
已知f(x)=
-cosπx      x＞0
f(x+1)+1  x≤0
，则f（
4
3
）+f（-
3
4
）的值等于
3-
2
2
3-
2
2
．
已知f(x)=(
cosα
sinβ
)x+(
cosβ
sinα
)x (x＞0)，α，  β∈(0，  
π
2
)，若f（x）＜2，则（　　）
已知f(x)=
cosπx(x＜1)
f(x-1)-1(x＞1)
则f(
1
3
)+f(
4
3
)=
0
0
．

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