题目内容

证明：当x＞0时，有1+
x
2
＞
1+x
成立．
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：可运用分析法证明．考虑两边平方，再化简整理，即可得证．
解答： 证明：由于x＞0，要证1+
x
2
＞
1+x
，
即证（1+
x
2
）2＞1+x，
即证1+x+
x2
4
＞1+x，
即为
x2
4
＞0，显然成立．
则有当x＞0时，有1+
x
2
＞
1+x
成立．
点评：本题考查不等式的证明，考查运用分析法证明不等式，注意解题步骤，考查推理能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知复数Z满足Z2+3=0，则Z3的值为（　　）
A、±3
3
i
B、3
3
i
C、3
3
D、±3
3
下面几个命题：
①命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的数都不是偶数”；
②“a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件；
③“若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=-
3
2
”的逆否命题是真命题；
④若平面α⊥直线a，平面β⊥直线a，则α∥β；
⑤若直线m∥平面α，直线n∥β，α∥β，则m∥n．
真命题的序号为
 
．
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（
2
，0），右顶点为A（1，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l经过双曲线C的右顶点A且斜率为k（k＞0），若直线l与双曲线C的另一个交点为B，且
OA
•
OB
＞3（其中O为原点），求实数k的取值范围．
已知f（x）=ex+x2-x；
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，写出g（x）的表达式，并比较g（x）与f（x）的大小；
（3）若f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＜0．
已知⊙O的两条弦AB与CD相互垂直，且交点为P，若
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=m
OP
，则m的值为
 
．
直线l：y=m（m为实常数）与曲线E：y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N，有下面4个结论：
①|
MN
|=2；
②三角形PAB可能为等腰三角形；
③若直线l与y轴的交点为Q，则|PQ|=1；
④是函数g（x）=x2+lnx的零点时，|
AO
|（O为坐标原点）取得最小值．
其中正确结论有
 
．（写出所有正确结论的序号）
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0），离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（1，0），过P的直线l交椭圆C于A，B两点，求
OA
•
OB
的值．
已知函数f（x）=sinx，g（x）=cos2x，以下判断正确的序号是
 

（1）函数h（x）=f（x）-tanx在x∈（-
π
2
，0]上的零点只有1个．
（2）函数h（x）=f（x+1）-
π
2x+2
在x∈（1，2π）上的零点只有1个．
（3）函数h（x）=
1
2
f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零点个数为1个时，a无解
（4）函数h（x）=
1
2
f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零点个数为2时，a∈（-1，-
1
2
）∪{-
17
16
}．

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