Question

已知f（x）=e^x+x²-x；
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，写出g（x）的表达式，并比较g（x）与f（x）的大小；
（3）若f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＜0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导数求函数的单调性，利用二次求导求导函数的符号，（2）函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象关于x轴对称，则有g（x）=-f（x），（3）先由（1）得f（x）在（0，+∞）内是增函数，在（-∞，0）内是减函数，故x₁、x₂不可能在同一单调区间内；设x₁＜0＜x₂，令g（x）=f（x）-f（-x），由函数g（x）的单调性，即g（x₁）＜g（0）=0．再结合函数的单调性即可证明结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，f″（x）=e^x+2＞0，
∴f′（x）=e^x+2x-1为单调增函数
令f′（x）=0，可得x=0
当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调增，
所以函数的单调减区间为（-∞，0]，增区间为（0，+∞）．
（2）若g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，则g（x）=-f（x）=-e^x_-x^2₊x，
做差得f（x）-g（x）=2（e^x+x²-x）=2f（x），
令F（x）=2f（x），由（1）可知F（x）与f（x）一样在（-∞，0]，单调递减，在（0，+∞）．单调递增，x=0时取得最小值F（0）=1，
所以f（x）-g（x）＞0，即g（x）＜f（x）．
（3）证明：）∵f（x₁）=f（x₂），且满足x₁≠x₂，由（1）可知x₁，x₂异号．
不妨设x₁＜0＜x₂，则-x₁＞0．
令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x+x²-x-（e^-x+x²+x）
=e^x-e^-x-2x，
则g′（x）=e^x+e^-x-2≥2

exe-x

-2=0，
所以g（x）在R上是增函数，
又g（x₁）=f（x₁）-f（-x₁）＜g（0）=0，∴f（x₂）=f（x₁）＜f（-x₁），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x₂＜-x₁，即x₁+x₂＜0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．