Question

7．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=$\sqrt{2}$，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上
（1）证明：AD⊥C₁E
（2）当BE=1时，求三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD⊥C₁E，需证明AD⊥面CBB₁C₁．推导出BB₁⊥AD，BC⊥AD，能证明AD⊥面CBB₁C₁，由此能证明AD⊥C₁E
（2）三棱锥C₁-A₁B₁E的体积${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵E为动点，∴欲证明AD⊥C₁E，需证明AD⊥面CBB₁C₁．
∵ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥面ABC，
∵AD?面ABC，∴BB₁⊥AD，
∵Rt△ABC是等腰直角三角形，且D为BC的中点，∴BC⊥AD，
∵BB₁∩BC=B，∴AD⊥面CBB₁C₁，
∵C₁E?面CBB₁C₁，∴AD⊥C₁E
解：（2）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥A₁B₁，BE=1，
∴EB₁=2，且EB₁是三棱锥E-A₁B₁C₁的高，
∴三棱锥C₁-A₁B₁E的体积：
${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}C}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}×E{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．