Question

8．已知S_n为数列{a_n}的前n项和满足a_n＞0，${a_n}^2+2{a_n}=4{S_n}+3$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式与递推关系即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${a_1}^2+2{a_1}=4{S_1}+3=4{a_1}+3$，∵a_n＞0，∴a₁=3，
当n≥2时，${a_n}^2+2{a_n}-{a_{n-1}}^2-2{a_{n-1}}=4{S_n}+3-4{S_{n-1}}-3$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，因此数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n+1．
（II）解：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{b_n}的前n项和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．