Question

7．已知tanθ=2．
（1）求1+sinθcosθ-cos²θ的值；
（2）若sin（α+θ）=$\frac{2}{3}$，sin（α-θ）=-$\frac{1}{5}$，求tanα．

Answer 1

分析 （1）利用弦化切的思想即可求解；
（2）利用和与差公式打开，两式相除，弦化切的思想即可求解．

解答 解：∵tanθ=2．
（1）则1+sinθcosθ-cos²θ=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+sinθcosθ-cos^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{ta{n}^{2}θ+tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{6}{5}$．
（2）由sin（α+θ）=sinαcosθ+cosαsinθ=$\frac{2}{3}$…①，
sin（α-θ）=sinαcosθ-cosαsinθ=-$\frac{1}{5}$…②，
由①÷②，可得：$\frac{sinαcosθ+cosαsinθ}{sinαcosθ-cosαsinθ}=\frac{tanα+tanθ}{tanα-tanθ}$=$-\frac{10}{3}$．
即$\frac{tanα+2}{tanα-2}$=-$\frac{10}{3}$，
∴tanα=$\frac{14}{13}$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和和与差公式，弦化切的思想的应用，属于基本知识的考查．