Question

3．将${（{1-\frac{1}{x^2}}）^n}（n∈{N_+}）$的展开式中x^-4的系数记为a_n，则$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2015}{1008}$
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 由条件利用二项式展开式的通项公式求得a_n，再利用裂项法进行求和，可得要求式子的值．

解答 解：将${（{1-\frac{1}{x^2}}）^n}（n∈{N_+}）$的展开式中x^-4的系数记为a_n，∴a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴则$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=$\frac{2}{1•2}$+$\frac{2}{2•3}$+$\frac{2}{3•4}$+••+$\frac{2}{2015•2016}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）=2•$\frac{2015}{2016}$=$\frac{2015}{1008}$，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式展开式的通项公式，用裂项法进行求和，属于中档题．