Question

9．在△ABC中，D是边AC的中点，若A=$\frac{π}{3}$，cos∠BDC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，△ABC面积为3$\sqrt{3}$，则sin∠ABD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，边长BC=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设AB=c、AC=b、BC=a，由三角形的面积公式求出 bc的值，由诱导公式和平方关系求出cos∠ADB、sin∠ADB，由两角和的正弦公式求出sin∠ABD；在△ABD中由正弦定理和bc的值求出c²、b²，在△ABC中由余弦定理求出BC的长．

解答 解：如图所示：设AB=c、AC=b、BC=a，
∵D是边AC的中点，∴AD=DC=$\frac{1}{2}b$，
∵A=$\frac{π}{3}$，△ABC面积为3$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}bcsinA=3\sqrt{3}$，
则$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}bc=3\sqrt{3}$，得bc=12，
∵∠ADB+∠BDC=π，cos∠BDC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，∴cos∠ADB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
由∠ADB∈（0，π）得，sin∠ADB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADB}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
在△ABD中，sin∠ABD=sin（∠ADB+A）
=sin∠ADBcosA+cos∠ADBsinA
=$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$\frac{1}{2}+$$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，
∴$\frac{c}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{\frac{b}{2}}{\frac{3\sqrt{21}}{14}}$，化简得b=3c，
代入bc=12得，c²=4、b²=36，
在△ABC中，由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA
=c²+b²-bc=4+36-12=28，
∴BC═2$\sqrt{7}$，（9分），
故答案为：$\frac{3\sqrt{21}}{14}$；2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，考查化简、计算能力，属于中档题．