题目内容
在数列{an}和{bn}中，已知an=an，bn=(a+1)n+b，n=l，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．
(Ⅰ)若a1=b1，a2＜b2，求数列{bn}的前n项和；
(Ⅱ)证明：当a=2，b=
时，数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列；
(Ⅲ)设集合A={a1，a2，a3，…}，B={b1，b2，b3，…}．试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠
，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。
(Ⅰ)若a1=b1，a2＜b2，求数列{bn}的前n项和；
(Ⅱ)证明：当a=2，b=
时，数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列；(Ⅲ)设集合A={a1，a2，a3，…}，B={b1，b2，b3，…}．试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠
，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。 解：(Ⅰ)因为a1=b1，所以a=a+1+b，b=-1，
由a2＜b2，得a2-2a-1＜0， 所以1-
＜a＜1+，
因为a≥2且a∈N*，所以a=2，所以bn=3n-1，{bn}是等差数列，
所以数列{bn}的前n项和
。
(Ⅱ)由已知bn=3n+
，
假设3m+
，3n+
，3t+成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，
则（3m+
）2=（3m+
）（3t+），
所以9n2+6
n+2=9mt+3
m+3t+2，
所以3n2-3mt=(m+t-2n)
，
若m+t-2n=0，则3n2-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；
若m+l-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)为无理数，
所以3n2-3mt为无理数，与3n2-3mt是整数矛盾，
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列。
(Ⅲ)设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠
，
设m0∈C，则m0∈A，且m0∈B，
设m0=at(t∈N*)，m0=（a+1）s+b(s∈N*)，
则at=（a+1）s+b，所以
，
因为a，t，s∈N*，且a＞2，所以at-b能被a+1整除，
(1)当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以，
；
(2)当t=2n(n∈N*)时，
，
由于b∈[1，a]，b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，at-b能被a+1整除；
(3)当t=2n+1(n∈N*)时，
，
由于b∈[1，a]，b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，at-b能被a+1整除；
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠
成立，
且当b=1时，C={y|y=a2n，n∈N*}；
当b=a时，c={y|y=a2n+1，n∈N*}。
由a2＜b2，得a2-2a-1＜0， 所以1-
＜a＜1+， 因为a≥2且a∈N*，所以a=2，所以bn=3n-1，{bn}是等差数列，
所以数列{bn}的前n项和
。(Ⅱ)由已知bn=3n+
，假设3m+
，3n+
，3t+成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，则（3m+
）2=（3m+
）（3t+），所以9n2+6
n+2=9mt+3
m+3t+2，所以3n2-3mt=(m+t-2n)
，若m+t-2n=0，则3n2-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；
若m+l-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)
为无理数，所以3n2-3mt为无理数，与3n2-3mt是整数矛盾，
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列。
(Ⅲ)设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠
，设m0∈C，则m0∈A，且m0∈B，
设m0=at(t∈N*)，m0=（a+1）s+b(s∈N*)，
则at=（a+1）s+b，所以
，因为a，t，s∈N*，且a＞2，所以at-b能被a+1整除，
(1)当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以，
；(2)当t=2n(n∈N*)时，
，由于b∈[1，a]，b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，at-b能被a+1整除；
(3)当t=2n+1(n∈N*)时，
，由于b∈[1，a]，b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，at-b能被a+1整除；
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠
成立，且当b=1时，C={y|y=a2n，n∈N*}；
当b=a时，c={y|y=a2n+1，n∈N*}。
练习册系列答案
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，bn=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．
时，数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列．
时，数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列；