Question

在数列{a_n}和{b_n}中，an=an，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当a=2，b=

2

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₁=b₁，可得b=-1，利用a₂＜b₂，a≥2，可得a=2，从而可求数列{b_n}的通项与前n项和；
（Ⅱ）设数列{b_n}中的任意三项能构成等比数列，不妨设b_x，b_y，b_z（0≤x＜y＜z≤n）为任意三项成等比数列，所以b_y ² =b_x•b_z，即3y2-3xz-(x+z-2

2

y)

2

=0，从而3y2-3xz=0，x+z-2

2

y=0，结合0≤x＜y＜z≤n，且x、y、z为整数，即可知当a=2，b=

2

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列．

解答：（Ⅰ）解：∵a₁=b₁，∴a=a+1+b，∴b=-1
∵a₂＜b₂，∴a²＜2a+1
∴1-

2

＜a＜1+

2

∵a≥2，∴a=2
∴b_n=（a+1）n+b=3n-1
∴数列{b_n}的前n项和为

n(2+3n-1)

2

=

3

2

n2+

n

2

；
（Ⅱ）证明：当a=2，b=

2

时，b_n=（a+1）n+b=3n+

2

设数列{b_n}中的任意三项能构成等比数列，不妨设b_x，b_y，b_z（0≤x＜y＜z≤n）为任意三项成等比数列，
则b_y ² =b_x•b_z，即（3y+

2

）²=（3x+

2

）•（3z+

2

），化简得3y2-3xz-(x+z-2

2

y)

2

=0
∴3y2-3xz=0，x+z-2

2

y=0
∴x²-6xz+z²=0
∵0≤x＜y＜z≤n，且x、y、z为整数，
∴此方程无整数解．
故当a=2，b=

2

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的综合，考查数列求和，考查反证法思想．