Question

11．如图，在直三棱柱ABA₁中，D₁C=$\sqrt{2}$a，DD₁=DA=DC=a，点E、F分别是BC、DC的中点．
（1）证明：AF⊥ED₁；
（2）求点E到平面AFD₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知得DD₁²+DC²=D₁C²，DD₁⊥DC．利用线面垂直的判定定理可得DD₁⊥平面ABCD．于是DD₁⊥AF．由已知可得△ADF≌△CDE，得到AF⊥DE．即可证明AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（Ⅱ）设三棱锥D₁-AEF的体积为V，点E到平面AFD₁的距离为h，利用等体积即可得出．

解答 （1）证明：由已知得DD₁²+DC²=D₁C²，
∴DD₁⊥DC．
连接DE，由已知得AD⊥DD₁，又DD₁⊥DC，AD∩DC=D，∴DD₁⊥平面ABCD．
又AF?平面ABCD，∴DD₁⊥AF．
DA=DC=a，CE=DF=$\frac{1}{2}$a，∠ADF=∠DCE=90°，△ADF≌△CDE，∠DAF=∠CDE，AF⊥DE．
又DD₁∩DE=D，∴AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（2）解：设三棱锥D₁-AEF的体积为V，点E到平面AFD₁的距离为h，
V=$\frac{1}{3}×（{a}^{2}-2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×a-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a）×a$=$\frac{1}{8}{a}^{3}$，
D₁F=AF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AD₁=$\sqrt{2}$a，
过F作FG⊥AD₁于G，则FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，△AD₁F的面积S=$\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{2}×h=\frac{1}{8}{a}^{3}$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．