Question

6．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱C′D′上有-点P，当点B到平面PAA′距离最小时，tan∠PAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，设正方体的棱长为a．由于${V}_{P-AB{A}^{′}}$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$是一个定值，设点B到平面PAA′距离为h，则$\frac{1}{6}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△A{A}^{′}P}$，可得h=$\frac{{a}^{2}}{{A}^{′}P}$，因此A′P取得最大值时，h取得最小值．

解答 解：如图所示，设正方体的棱长为a．
由于${V}_{P-AB{A}^{′}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$是一个定值，
设点B到平面PAA′距离为h，
则$\frac{1}{6}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△A{A}^{′}P}$，${S}_{△A{A}^{′}P}$=$\frac{1}{2}a•{A}^{′}P$，
∴h=$\frac{{a}^{2}}{{A}^{′}P}$，
因此当A′P取得最大值A′C′=$\sqrt{2}a$时，h取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∴tan∠PAD=$\frac{AD}{{C}^{′}D}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方体的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．