Question

11．在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x²+y²-4x-1=0交于A，B两点．
（1）若直线m：ax-2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；
（2）若OB=2OA，求直线l的方程；
（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，设直线L的斜率k，令kt=1，设△ABD面积为f（t），求f（t）

Answer 1

分析 （1）由直线与圆相切，得圆心到直线的距离d=r，列出方程求出a的值，从而求出直线l的方程；
（2）利用AB的中点M，结合OB=2OA，设出所求直线的方程，利用圆心到直线l的距离d和勾股定理，可以求出l的方程；
（3）设A，B两点的纵坐标分别为y₁，y₂，求出点D的坐标，写出△ABD的面积f（t），利用直线AB的方程与圆的方程联立，结合根与系数的关系，即可求出f（t）的解析式．

解答 解：（1）由直线m：ax-2y+a+2=0（a＞0）与圆C：x²+y²-4x-1=0相切，
得圆心C（2，0）到直线的距离d=r=$\sqrt{5}$，
即$\frac{{|{3a+2}|}}{{\sqrt{{a^2}+4}}}=\sqrt{5}$，
化简得：a²+3a-4=0，
解得a=1或a=-4，
由于a＞0，故a=1；
由直线m与圆解得切点B（1，2），得l：y=2x；（3分）
（2）取AB的中点M，则AM=$\frac{1}{2}$AB，
又$OA=\frac{1}{3}AB$，所以$OM=\frac{1}{3}AM$，
设：OM=x，圆心到直线l的距离为d，
由勾股定理得：x²+d²=4，9x²+d²=5，解得${d^2}=\frac{31}{8}$，
设所求直线的方程为y=kx，$d=\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
解得$k=±\sqrt{31}$，直线$l：y=±\sqrt{31}x$；（8分）
（3）如图：设A，B两点的纵坐标分别为y₁，y₂，
易知$D（2+\sqrt{5}，0）$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y_1}|+|{y_2}|）$，
易知|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|，
设AB的方程为x=ty，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty\\{x^2}+{y^2}-4x-1=0\end{array}\right.$，消元得（t²+1）y²-4ty-1=0，
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{△}}}{{1+{t^2}}}=\frac{{\sqrt{20{t^2}+4}}}{{1+{t^2}}}$=$2\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}$，
则 $f（t）=2\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}（t∈R）$．（12分）

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了函数与方程思想的综合应用问题，是中档题．