Question

16．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，D为AC中点，AE⊥BD于点E，延长AE交BC于点F，沿BD将△ABC折成四面体A-BCD．
（1）若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面AEF；
（2）若cos∠AEF=$\frac{1}{3}$，求点D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明F是BM的中点，可得DM∥EF，利用线面平行的判定定理证明直线DM∥平面AEF；
（2）由（1）可知点D到平面ABC的距离是E到平面ABC的距离的2倍，即E到AF的距离的2倍．

解答 （1）证明：∵△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，D为AC中点，
AE⊥BD于点E，延长AE交BC于点F，
∴E是BD的中点，BC=$\sqrt{3}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵M是FC的中点，∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴F是BM的中点，
∴DM∥EF，
∵DM?平面AEF，EF?平面AEF
∴直线DM∥平面AEF；
（2）解：由（1）可知点D到平面ABC的距离是E到平面ABC的距离的2倍，
即E到AF的距离的2倍．
△AEF中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，AF=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{36}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
由等面积可得E到AF的距离=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{2\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{9}{48}$
∴点D到平面ABC的距离为$\frac{9}{24}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离，考查学生分析解决问题的能力，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．