题目内容
【题目】请你设计一个包装盒，如图所示，
是边长为
的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点
，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，
在
上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设
(
).
（1）某广告商要求包装盒的侧面积
最大，试问
应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积
最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【答案】（1）
（2）
；高与底面边长的比值为
【解析】
（1）设包装盒的底面边长为
，高为
，由题意得到，
，
，
根据侧面积公式，得出
，由二次函数的性质，即可得出最值；
（2）根据体积公式，由题意，得到
，用导数的方法求出最值，即可得出结果.
（1）设包装盒的底面边长为，高为，
则由题意可得，，
，
所以
，
∴当时，
取得最大值
（2）根据题意，由（1）有
∴
由
得，
（舍）或.
∴当
时
；当
时
，
∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为
即包装盒的高与底面边长的比值为.
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